Calcule a derivada \frac{d y}{d x} :
y=e^{-3 x}+\ln (\operatorname{arctg}(x))

Passo 1

O enunciado nos dá
y = e^-3x + lnl(arctg(x)r)
e pede tfracdydx. Para isso vamos usar:
– a regra da soma de derivadas;
– a regra da cadeia aplicada em e^-3x;
– a regra da cadeia em ln(u) e a derivada de arctg(x).

Passo 2

Derivando e^-3x por regra da cadeia: seja u=-3x, então
ddxe^u = e^u,dudx Longrightarrow ddxe^-3x = e^-3xcdot(-3) = -3e^-3x

Passo 3

Derivando lnl(arctg(x)r): use
ddxln(u) = u'u e ddxarctg(x)=11+x^2
Logo,
ddxlnl(arctg(x)r) =1arctg(x)cdot11+x^2 =1arctg(x),(1+x^2)

Passo 4

Somando as parcelas obtidas nos passos anteriores pela regra da soma, concluímos
dydx = -3e^-3x ;+;1arctg(x),(1+x^2)

Resposta

dydx = -3e^-3x + 1arctg(x),(1+x^2)

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