- (a) Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
(b) O que é a equação complementar? Como ela pode ajudar a resolver a equação diferencial original?
(b) O que é a equação complementar? Como ela pode ajudar a resolver a equação diferencial original?
Passo 1
O enunciado pede (a) a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes e (b) a definição de equação complementar e seu papel na solução da equação original. Vamos usar a teoria de equações lineares de segunda ordem, caracterização da parte homogênea e princípio da superposição.
Passo 2
A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes é
onde
são constantes com
e
é o termo não homogêneo.
Passo 3
A equação complementar (ou equação homogênea associada) é obtida anulando o termo não homogêneo, isto é,
Para resolvê-la, montamos a equação característica
cujas raízes
dão a solução geral da homogênea:
- Se
reais, - Se raízes iguais
, - Se complexas
,
Passo 4
A equação complementar fornece a base de soluções homogêneas
. Pelo princípio da superposição, a solução geral da não homogênea é
onde
é uma solução particular de
Conhecer
ajuda a escolher o ansatz certo para
(por exemplo método dos coeficientes indeterminados) e, ao final, combinar termos homogêneos e particulares.
Resposta
(a) A forma geral é
com
constantes e
não homogênea.
(b) A equação complementar é a associada homogênea
Sua solução
forma a parte homogênea da solução geral. Pelo princípio da superposição, a solução da não homogênea é
onde
é uma solução particular da equação original.