1. (a) Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
    (b) O que é a equação complementar? Como ela pode ajudar a resolver a equação diferencial original?

Passo 1

O enunciado pede (a) a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes e (b) a definição de equação complementar e seu papel na solução da equação original. Vamos usar a teoria de equações lineares de segunda ordem, caracterização da parte homogênea e princípio da superposição.

Passo 2

A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes é
a2,d^2ydx^2 ;+; a1,dydx ;+; a0,y ;=; g(x),
onde a2,a1,a0 são constantes com a2neq0 e g(x) é o termo não homogêneo.

Passo 3

A equação complementar (ou equação homogênea associada) é obtida anulando o termo não homogêneo, isto é,
a2,d^2ydx^2 ;+; a1,dydx ;+; a0,y ;=;0
Para resolvê-la, montamos a equação característica
a2,r^2 + a1,r + a0 = 0,
cujas raízes r1,r2 dão a solução geral da homogênea:
  • Se r1neq r2 reais, yc(x)=C1e^r1x+C2e^r2x
  • Se raízes iguais r1=r2=r, yc(x)=(C1+C2x),e^r x
  • Se complexas r=alphapm ibeta, yc(x)=e^alpha xl(Acos(beta x)+Bsin(beta x)r)

Passo 4

A equação complementar fornece a base de soluções homogêneas yc(x). Pelo princípio da superposição, a solução geral da não homogênea é
y(x)=yc(x)+yp(x),
onde yp(x) é uma solução particular de
a2y'' + a1y' + a0y = g(x)
Conhecer yc ajuda a escolher o ansatz certo para yp (por exemplo método dos coeficientes indeterminados) e, ao final, combinar termos homogêneos e particulares.

Resposta

(a) A forma geral é
a2,d^2ydx^2 + a1,dydx + a0,y = g(x),
com a2neq0 constantes e g(x) não homogênea.
(b) A equação complementar é a associada homogênea
a2,d^2ydx^2 + a1,dydx + a0,y = 0
Sua solução yc(x) forma a parte homogênea da solução geral. Pelo princípio da superposição, a solução da não homogênea é
y(x)=yc(x)+yp(x),
onde yp(x) é uma solução particular da equação original.

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