Calcule derivada:
\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é composta por \sqrt{x} e \dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Domínio natural para que essas expressões façam sentido é x>0.
  • A única pergunta é: calular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita usando potências, porque a regra de derivação fica direta. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2} e \dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. Assim reescrevemos
f(x)=x^{1/2}-x^{-1/2}.
Isto facilita o uso da regra da potência.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar: regra da potência.
\text{Se } g(x)=x^{n}\quad\text{então}\quad g'(x)=n x^{n-1},ã
onde n é qualquer número real. Por exemplo, se g(x)=x^{3} então g'(x)=3x^{2}. Aqui aplicaremos essa regra termo a termo, já que a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas.

Passo 4

Aplicando a regra da potência a cada termo:
  • Para x^{1/2}:
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Para -x^{-1/2}:
\frac{d}{dx}\big(-x^{-1/2}\big)=-\big(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\big)=\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.
Note que ao derivar x^{-1/2} obtemos -\tfrac{1}{2}x^{-3/2} e o sinal menos da função transforma isso em +\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Passo 5

Somando as duas derivadas obtidas:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}+\frac{1}{2}x^{-3/2}.
Fatorando \tfrac{1}{2}x^{-3/2} para simplificar:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-3/2}\big(x+1\big).

Passo 6

Reescrevendo com potências positivas ou radicais, usando x^{3/2}=x\sqrt{x}:
f'(x)=\frac{x+1}{2x^{3/2}}=\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}.
Lembre que esta expressão é válida para x>0, que é o domínio original.

Resposta

\displaystyle \frac{x+1}{2x^{3/2}}

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