Calcule a derivada da função abaixo:
f(x)=tan (log 3 x)

Passo 1

Temos a função f(x)=tan(log3x). Para derivar, vamos usar a regra da cadeia, sabendo que ddu(tan u)=sec^2u e que log3x=ln xln3

Passo 2

Reescrevendo em termos de logaritmo natural, fica f(x)=tanl(tfracln xln3r). Aplicando a regra da cadeia: f'(x)=sec^2l(u(x)r)cdot u'(x), onde u(x)=tfracln xln3
Calculamos u'(x):
$$\nu’(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\ln x}{\ln3}\Bigr)=\frac{1}{\ln3}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x\ln3}.
$$

Passo 3

Substituindo em f'(x)=sec^2(u(x))cdot u'(x), obtemos:
f'(x)=sec^2l(ln xln3r)cdot1xln3

Passo 4

Voltando ao logaritmo base 3, como ln xln3=log3x, temos:
f'(x)=sec^2(log3x)xln3

Resposta

f'(x)=sec^2(log3x)xln3

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