Encontre as derivadas sucessivas
e
da função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as três primeiras derivadas de f(x)=3 tan(x/2). O conteúdo é derivada de função trigonométrica composta, então vamos usar a regra da cadeia e, no caso da terceira derivada, também a regra do produto.
Passo 2
Para obter f′(x) aplicamos a regra da cadeia em tan(u) com u=x/2. Sabemos que d/dx[tan(u)]=sec^2(u)·u′. Então:
Passo 3
Para a segunda derivada f″(x), derivamos f′(x)=\frac{3}{2}sec^2(u) com u=x/2. Como d/dx[sec^2(u)]=2 sec^2(u) tan(u)·u′, temos:
Passo 4
Para a terceira derivada f‴(x), definimos g(x)=sec^2(u)tan(u) e usamos produto: g′= (sec2(u))′·tan(u)+sec2(u)·(tan(u))′.
Calculando as derivadas parciais e lembrando u′=1/2:
Calculando as derivadas parciais e lembrando u′=1/2:
- (sec2(u))′=2sec2(u)tan(u)·\tfrac12=sec^2(u)tan(u)
- (tan(u))′=sec^2(u)·\tfrac12=\tfrac12 sec^2(u)
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Multiplicando pelo fator \frac{3}{2} de f″, obtemos
Resposta
f’(x)=\frac{3}{2}\sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), f’’(x)=\frac{3}{2}\sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), f’’’(x)=\frac{3}{2}\sec2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\tan2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\frac{3}{4}\sec^4\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).