Encontre as derivadas sucessivas f^prime(x), f^prime prime(x) e f^prime prime prime(x) da função abaixo:
f(x)=3 tan (x2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as três primeiras derivadas de f(x)=3 tan(x/2). O conteúdo é derivada de função trigonométrica composta, então vamos usar a regra da cadeia e, no caso da terceira derivada, também a regra do produto.

Passo 2

Para obter f′(x) aplicamos a regra da cadeia em tan(u) com u=x/2. Sabemos que d/dx[tan(u)]=sec^2(u)·u′. Então:
f'(x)=3cdot sec^2l(x2r)cdotddxl(x2r)=3cdot sec^2l(x2r)cdot12=32sec^2l(x2r)

Passo 3

Para a segunda derivada f″(x), derivamos f′(x)=\frac{3}{2}sec^2(u) com u=x/2. Como d/dx[sec^2(u)]=2 sec^2(u) tan(u)·u′, temos:
f''(x)=32cdotl(2sec^2(u)tan(u)cdottfrac12r)=32sec^2l(x2r)tanl(x2r)

Passo 4

Para a terceira derivada f‴(x), definimos g(x)=sec^2(u)tan(u) e usamos produto: g′= (sec2(u))′·tan(u)+sec2(u)·(tan(u))′.
Calculando as derivadas parciais e lembrando u′=1/2:
  • (sec2(u))′=2sec2(u)tan(u)·\tfrac12=sec^2(u)tan(u)
  • (tan(u))′=sec^2(u)·\tfrac12=\tfrac12 sec^2(u)
    Logo
g'(x)=sec^2(u)tan^2(u)+tfrac12 sec^4(u)
Multiplicando pelo fator \frac{3}{2} de f″, obtemos
f^primeprimeprime(x)=32l(sec^2(u)tan^2(u)+tfrac12 sec^4(u)r)=32sec^2l(x2r)tan^2l(x2r)+34sec^4l(x2r)

Resposta

f’(x)=\frac{3}{2}\sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), f’’(x)=\frac{3}{2}\sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), f’’’(x)=\frac{3}{2}\sec2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\tan2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\frac{3}{4}\sec^4\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Exercícios relacionados