Calcule a derivada da função abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=x^3 sec (x) tg(x)(x^2+1) cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de . O conteúdo envolve derivação de funções definidas por quociente e produtos, além de identidades trigonométricas, e vamos usar a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Usamos as identidades sec(x)=1/cos(x) e para simplificar tg(x)=sin(x)/cos(x).
f(x)

Passo 3

Para aplicar a derivada como produto, escrevemos:
f(x)=x^3,(x^2+1)^-1,sin(x),cos(x)^-3
Definimos:
$$A(x)=x3(x2+1)^{-1},\quad B(x)=\sin(x),\quad C(x)=\cos(x)^{-3}.
$$

Passo 4

Calculamos as derivadas de cada fator:
A'(x)=3x^2(x^2+1)^-1+x^3cdot(-1)(x^2+1)^-2cdot2x=x^2(x^2+3)(x^2+1)^2,
B'(x)=cos(x),
C'(x)=-3cos(x)^-4cdot(-sin(x))=3sin(x)cos(x)^-4

Passo 5

Aplicamos a regra do produto para três fatores:
f'(x)=A'(x),B(x),C(x)+A(x),B'(x),C(x)+A(x),B(x),C'(x)

Passo 6

Substituindo A,B,C e suas derivadas e simplificando cada termo:
f'(x)=x^2(x^2+3)(x^2+1)^2sin(x)cos^-3(x)+x^3x^2+1cos(x)cos^-3(x)+x^3x^2+1sin(x),3sin(x)cos^-4(x)
Isto é
x^2(x^2+3)sin(x)(x^2+1)^2cos^3(x)+x^3(x^2+1)cos^2(x)+3x^3sin^2(x)(x^2+1)cos^4(x)

Passo 7

Colocando tudo sobre o denominador comum ((x2+1)2\cos^4(x)) e somando os numeradores, obtemos a forma final simplificada:
Finalizando a soma chega-se a

Resposta

f'(x)=x^2l[(x^2+3)sin(x)cos(x)+x(x^2+1)l(cos^2(x)+3sin^2(x)r)r](x^2+1)^2cos^4(x)

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