Calcule a derivada da função abaixo, simplificando sempre que possível:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de . O conteúdo envolve derivação de funções definidas por quociente e produtos, além de identidades trigonométricas, e vamos usar a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Usamos as identidades
e para simplificar
.
Passo 3
Para aplicar a derivada como produto, escrevemos:
Definimos:
$$A(x)=x3(x2+1)^{-1},\quad B(x)=\sin(x),\quad C(x)=\cos(x)^{-3}.
$$
Passo 4
Calculamos as derivadas de cada fator:
Passo 5
Aplicamos a regra do produto para três fatores:
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas e simplificando cada termo:
Isto é
Passo 7
Colocando tudo sobre o denominador comum ((x2+1)2\cos^4(x)) e somando os numeradores, obtemos a forma final simplificada:
Finalizando a soma chega-se a
Finalizando a soma chega-se a