sumk=0^infty 3^kk^3 2^k+2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita sumk=0^infty 3^kk^3,2^k+2, que envolve termos da forma ak=3^kk^3,2^k+2. O conteúdo principal é teste de convergência de séries (séries de termos gerais) e vamos usar o critério da razão.

Passo 2

Primeiro observamos que o termo a0 não está definido, pois haveria divisão por 0^3. Em geral séries desse tipo já são consideradas a partir de k=1. Então reescrevemos mentalmente como sumk=1^infty 3^kk^3,2^k+2.
Para aplicar o critério da razão, calculamos L=limktoinfty |ak+1ak|. Temos:
ak+1ak=3^k+1(k+1)^3,2^k+3cdotk^3,2^k+23^k=3,k^32,(k+1)^3

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ktoinfty. Como k^3/(k+1)^3to1, resulta em
L=limktoinfty3,k^32,(k+1)^3=32>1

Passo 4

Pelo teste da razão, se L>1 a série diverge. Portanto nossa série não converge.

Resposta

A série diverge.

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