Calcule a derivada da função abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=10 raiz[7]x^6-9raizx

Passo 1

Vamos calcular a derivada de f(x)=10raiz[7]x^6-tfrac9raizx. Este exercício usa a regra da potência: se g(x)=x^n, então g'(x)=n,x^n-1. A ideia é reescrever cada termo como potência de x para aplicar direto essa regra.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo em forma de potência:
10raiz[7]x^6=10,x^6/7
9raizx=9,x^-1/2
Portanto:
f(x)=10,x^6/7-9,x^-1/2

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da potência separadamente em cada termo:
  • Para 10,x^6/7: ddxl(10,x^6/7r)=10cdot67,x^6/7-1
  • Para -9,x^-1/2: ddxl(-9,x^-1/2r)=-9cdotl(-tfrac12r),x^-1/2-1

Passo 4

Agora simplificamos os coeficientes e os expoentes:
10cdot67,x^6/7-1= rac607,x^-1/7
-9cdotl(-tfrac12r),x^-1/2-1=92,x^-3/2
Somando as duas partes, obtemos a forma simplificada da derivada.

Passo 5

Se quisermos expressar em radicais, basta usar x^1/7=raiz[7]x e x^3/2=x^1+1/2=xraizx. Assim,
f'(x)=607,x^-1/7+92,x^-3/2
ou equivalentemente
f'(x)=607,x^1/7+92,x^3/2

Resposta

f'(x)=607x^-1/7+92x^-3/2

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