Determine a derivada da função a seguir, utilizando a definição de derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=√(x−2) usando a definição de derivada, ou seja, o limite do quociente incremental. Vamos precisar usar a definição f′(x)=limₕ→0 [f(x+h)−f(x)]/h e a técnica de racionalização para eliminar a raiz no numerador.
Passo 2
Aplicamos a definição de derivada escrevendo o limite:
Passo 3
Para resolver o limite, racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Passo 4
No numerador simplifica: (x+h−2)−(x−2)=h. Assim o quociente fica
Passo 5
Agora fazemos o limite quando h→0, substituindo h por 0 dentro da expressão:
Passo 6
Concluímos que, para x>2 (domínio de √(x−2)), a derivada é f’(x)=1/(2√(x−2)).