Determine a derivada da função a seguir, utilizando a definição de derivada.
f(x)=raizx-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=√(x−2) usando a definição de derivada, ou seja, o limite do quociente incremental. Vamos precisar usar a definição f′(x)=limₕ→0 [f(x+h)−f(x)]/h e a técnica de racionalização para eliminar a raiz no numerador.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada escrevendo o limite:
f'(x)=limhto0raiz(x+h)-2-raizx-2h

Passo 3

Para resolver o limite, racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
raizx+h-2-raizx-2hcdotraizx+h-2+raizx-2raizx+h-2+raizx-2=(x+h-2)-(x-2)hl(raizx+h-2+raizx-2r)

Passo 4

No numerador simplifica: (x+h−2)−(x−2)=h. Assim o quociente fica
hh(raizx+h-2+raizx-2)=1raizx+h-2+raizx-2

Passo 5

Agora fazemos o limite quando h→0, substituindo h por 0 dentro da expressão:
f'(x)=limhto01raizx+h-2+raizx-2=1raizx-2+raizx-2=12raizx-2

Passo 6

Concluímos que, para x>2 (domínio de √(x−2)), a derivada é f’(x)=1/(2√(x−2)).

Resposta

f'(x)=12raizx-2

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