Calcule a derivada da função abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função $ y = e^{-3x} \cos(7x) $. Isso está dentro do estudo de derivadas, mais especificamente usando a regra do produto. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e funções trigonométricas, além de saber aplicar a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que nossa função é o produto de duas funções: $ u(x) = e^{-3x} $ e $ v(x) = \cos(7x) $. A regra do produto diz que a derivada de $ y = u \cdot v $ é $ y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 3
Vamos derivar $ u(x) = e^{-3x} $. Sabemos que a derivada de $ e^{k x} $ é $ k e^{k x} $. Aqui, $ k = -3 $, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \cos(7x) $. A derivada de $ \cos(k x) $ é $ -k \sin(k x) $. Aqui, $ k = 7 $, então:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar $ e^{-3x} $:
Resposta
A derivada da função $ y = e^{-3x} \cos(7x) $ é: