Calcule a derivada da função abaixo:
y=e^-3 x cos (7 x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função $ y = e^{-3x} \cos(7x) $. Isso está dentro do estudo de derivadas, mais especificamente usando a regra do produto. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e funções trigonométricas, além de saber aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é o produto de duas funções: $ u(x) = e^{-3x} $ e $ v(x) = \cos(7x) $. A regra do produto diz que a derivada de $ y = u \cdot v $ é $ y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 3

Vamos derivar $ u(x) = e^{-3x} $. Sabemos que a derivada de $ e^{k x} $ é $ k e^{k x} $. Aqui, $ k = -3 $, então:
u(x) = e^-3x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \cos(7x) $. A derivada de $ \cos(k x) $ é $ -k \sin(k x) $. Aqui, $ k = 7 $, então:
v(x) = cos(7x)

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
y' = u' cdot v + u cdot v' = (-3 e^-3x) cos(7x) + e^-3x (-7 sin(7x))

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
y' = -3 e^-3x cos(7x) - 7 e^-3x sin(7x)
Podemos fatorar $ e^{-3x} $:
e^-3x

Resposta

A derivada da função $ y = e^{-3x} \cos(7x) $ é:
y = e^-3x cos(7x)

Exercícios relacionados