Calcule a derivada da função abaixo:
y=e^raiz[3]x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ y = e^{\sqrt[3]{x}} $. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam uma composição. Aqui, a função $ y $ é uma função exponencial $ e^{u} $, onde $ u = \sqrt[3]{x} $ ou, de forma equivalente, $ u = x^{1/3} $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos uma função $ y = f(g(x)) $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = f(g(x))
Isso significa que derivamos a função externa mantendo a interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função, temos:
  • Função externa: $ f(u) = e^{u} $
  • Função interna: $ g(x) = x^{1/3} $
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a $ u $:
f(u) = e^u

Passo 5

Em seguida, derivamos a função interna $ g(x) = x^{1/3} $ em relação a $ x $. Para isso, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $:
g(x) = x^1/3

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
dydx = f'(u) cdot g'(x) = e^x^1/3 cdot ( 13 x^-2/3 )

Resposta

A derivada da função $ y = e^{\sqrt[3]{x}} $ é:
y = e^raiz[3]x

Exercícios relacionados