Calcule a derivada da função abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ y = e^{\sqrt[3]{x}} $. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam uma composição. Aqui, a função $ y $ é uma função exponencial $ e^{u} $, onde $ u = \sqrt[3]{x} $ ou, de forma equivalente, $ u = x^{1/3} $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos uma função $ y = f(g(x)) $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Isso significa que derivamos a função externa mantendo a interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à nossa função, temos:
- Função externa: $ f(u) = e^{u} $
- Função interna: $ g(x) = x^{1/3} $
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a $ u $:
Passo 5
Em seguida, derivamos a função interna $ g(x) = x^{1/3} $ em relação a $ x $. Para isso, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Resposta
A derivada da função $ y = e^{\sqrt[3]{x}} $ é: