Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=sin (x+sin (x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função f(x) = sin(x + sin(x)) . Aqui estamos trabalhando com o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas usando essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função f(x) é uma seno de algo, e esse “algo” é x + sin(x) . Então, podemos pensar em u(x) = x + sin(x) como a função interna.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é f'(g(x)) cdot g'(x) . No nosso caso, f(u) = sin(u) , então a derivada de f em relação a u é cos(u) .

Passo 4

Em seguida, precisamos derivar a função interna u(x) = x + sin(x) . A derivada de x é 1, e a derivada de sin(x) é cos(x) . Portanto, u'(x) = 1 + cos(x) .

Passo 5

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia, a derivada de f(x) é:
f'(x) = cos(u(x)) cdot u'(x)
Substituindo u(x) e u'(x) :
f'(x) = cos(x + sin(x)) cdot (1 + cos(x))

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = cos(x + sin(x)) cdot (1 + cos(x))

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