Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=sin (cos (x)x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função bem interessante para derivar:
f(x) = sin (cos(x)x)
Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, vamos usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente. Precisamos saber como derivar funções compostas e como lidar com frações dentro das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos uma função seno que recebe como argumento uma fração:
u(x) = cos(x)x
Então, podemos reescrever nossa função principal como:
f(x) = sin(u(x))
Para derivar f(x) , vamos usar a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de uma função composta sin(u(x)) é:
f'(x) = cos(u(x)) cdot u'(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar u'(x) , que é a derivada da fração cos(x)x . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que para uma função g(x)h(x) diz que:
(gh)' = g'(x)h(x) - g(x)h'(x)[h(x)]^2
Aqui, g(x) = cos(x) e h(x) = x . Vamos calcular as derivadas dessas partes.

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
  • g'(x) = ddx cos(x) = -sin(x)
  • h'(x) = ddx x = 1
    Agora, aplicando a Regra do Quociente:
u'(x) = (-sin(x)) cdot x - cos(x) cdot 1x^2 = -x sin(x) - cos(x)x^2

Passo 5

Voltando à nossa derivada original f'(x) :
f'(x) = cos(cos(x)x) cdot ( -x sin(x) - cos(x)x^2 )
Podemos simplificar um pouco:
f'(x) = cos(cos(x)x) cdot -x sin(x) - cos(x) x^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = cos(cos(x)x) cdot -x sin(x) - cos(x) x^2

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