Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=sin (cos (sin (x))).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A nossa missão aqui é calcular a derivada da função f(x) = sin (cos (sin (x))) . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente da derivação de funções compostas. Vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos. Ela é uma composição de três funções trigonométricas:
  1. sin(x)
  2. cos(sin(x))
  3. sin(cos(sin(x)))
Para derivar f(x) , vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas passo a passo.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta f(g(x)) , a derivada é f'(g(x)) cdot g'(x) . Vamos aplicar isso aqui, começando de dentro para fora.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar a parte mais interna: sin(x) . A derivada de sin(x) é cos(x) . Ou seja:
ddx sin(x) = cos(x)

Passo 5

Agora, temos cos(sin(x)) . Vamos derivar isso usando a Regra da Cadeia. A derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) , e já sabemos que u = sin(x) tem derivada cos(x) . Então:
ddx cos(sin(x)) = -sin(sin(x)) cdot cos(x)

Passo 6

Finalmente, vamos derivar a função completa sin(cos(sin(x))) . Mais uma vez, aplicamos a Regra da Cadeia. A derivada de sin(v) em relação a v é cos(v) , e já derivamos v = cos(sin(x)) no passo anterior. Então:
f'(x) = cos(cos(sin(x))) cdot ( -sin(sin(x)) cdot cos(x) )

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -cos(cos(sin(x))) cdot sin(sin(x)) cdot cos(x)

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