Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=e^sin (x^2+1).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função f(x) = e^sin(x^2 + 1) . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, mais especificamente usando a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e funções trigonométricas, além de aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas dentro da nossa função principal. Temos e^sin(u) , onde u = x^2 + 1 . Isso significa que nossa função está aninhada: temos uma exponencial, dentro dela uma função seno, e dentro do seno, uma função quadrática.

Passo 3

Para derivar f(x) = e^sin(u) , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Vamos derivar a função externa primeiro. A derivada de e^g em relação a g é simplesmente e^g . Então, a derivada de e^sin(u) em relação a sin(u) é e^sin(u) .

Passo 5

Agora, precisamos multiplicar pela derivada da função interna, que é sin(u) em relação a u . A derivada de sin(u) é cos(u) .

Passo 6

Em seguida, derivamos u = x^2 + 1 em relação a x . A derivada de x^2 é 2x e a derivada de uma constante é zero, então dudx = 2x .

Passo 7

Agora, juntando tudo: a derivada de f(x) é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna, que é e^sin(u) cdot cos(u) cdot 2x .

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x cdot e^sin(x^2 + 1) cdot cos(x^2 + 1)

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