Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=sin (e^cos (x)).

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a derivada da função f(x) = sin(e^cos(x)) . Isso cai dentro do conteúdo de derivadas de funções compostas, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da função composta. Aqui, temos:
  • A função externa: sin(u) , onde u = e^cos(x) .
  • A função interna: e^cos(x) .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta sin(u) é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Ou seja:
f'(x) = cos(u) cdot u'

Passo 4

Agora, vamos derivar u = e^cos(x) . Para isso, usamos o fato de que a derivada de e^v é e^v cdot v' , onde v = cos(x) . Então:
u' = e^cos(x) cdot ddxcos(x)

Passo 5

A derivada de cos(x) é -sin(x) . Então substituindo:
u' = e^cos(x) cdot (-sin(x)) = -e^cos(x) sin(x)

Passo 6

Voltando à derivada da função original:
f'(x) = cos(e^cos(x)) cdot (-e^cos(x) sin(x))

Passo 7

Podemos organizar melhor a expressão:
f'(x) = -e^cos(x) sin(x) cos(e^cos(x))

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -e^cos(x) sin(x) cos(e^cos(x))

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