Por que f: R R dada por f(x)=1 não é injetora? f é sobrej. ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=1forall xinR
Para ver se f é injetora, usamos a definição: f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1=x2.
Para ver se f é sobrejetora, usamos a definição: f é sobrejetora se, para todo yinR, existe xinR tal que f(x)=y.

Passo 2

Mostrando que f não é injetora.
Escolha, por exemplo, x1=0 e x2=1. Então
f(x1)=f(0)=1 e f(x2)=f(1)=1,
mas x1=0neq1=x2. Logo, temos f(x1)=f(x2) com x1neq x2, contrariando a definição de injeção. Portanto, f não é injetora.

Passo 3

Mostrando que f não é sobrejetora.
O contradomínio de f é todo R, mas a imagem de f é
Im(f)=,f(x)mid xinR=1
Logo, qualquer valor yneq1 em R não é atingido por f. Por exemplo, não existe xinR tal que f(x)=2. Portanto, f não é sobrejetora.

Resposta

f não é injetora e também não é sobrejetora.

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