Calcule a derivada da função em cada caso:
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \ln \left(\sin \left(x^{2}+1\right)\right) $. Aqui, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de outras funções, como é o caso aqui com o logaritmo natural e o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a nossa cadeia. Temos a função externa $ \ln(u) $ e a função interna $ u = \sin(v) $, onde $ v = x^{2} + 1 $.
Passo 3
Vamos começar a diferenciar a parte mais externa. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $. Então, a derivada da parte externa fica:
Passo 4
Agora, precisamos multiplicar pela derivada da função interna $ u = \sin(v) $. A derivada de $ \sin(v) $ em relação a $ v $ é $ \cos(v) $. Então:
Passo 5
Em seguida, diferenciamos $ v = x^{2} + 1 $ em relação a $ x $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de uma constante é 0. Assim:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia completa, multiplicando todas as derivadas que encontramos:
Passo 7
Substituímos $ v $ de volta para a sua expressão original $ v = x^{2} + 1 $:
Passo 8
Simplificamos a expressão utilizando a identidade trigonométrica $ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $:
Resposta
A derivada da função é: