Calcule a derivada da função em cada caso:
.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \ln \left(\sin \left(x^{2}+1\right)\right) $. Aqui, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de outras funções, como é o caso aqui com o logaritmo natural e o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a nossa cadeia. Temos a função externa $ \ln(u) $ e a função interna $ u = \sin(v) $, onde $ v = x^{2} + 1 $.

Passo 3

Vamos começar a diferenciar a parte mais externa. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $. Então, a derivada da parte externa fica:
ln(u)

Passo 4

Agora, precisamos multiplicar pela derivada da função interna $ u = \sin(v) $. A derivada de $ \sin(v) $ em relação a $ v $ é $ \cos(v) $. Então:
u = sin(v)

Passo 5

Em seguida, diferenciamos $ v = x^{2} + 1 $ em relação a $ x $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de uma constante é 0. Assim:
v = x^2 + 1

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia completa, multiplicando todas as derivadas que encontramos:
dfdx = 1u cdot dudv cdot dvdx = 1sin(v) cdot cos(v) cdot 2x

Passo 7

Substituímos $ v $ de volta para a sua expressão original $ v = x^{2} + 1 $:
v

Passo 8

Simplificamos a expressão utilizando a identidade trigonométrica $ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $:
cot(theta) = cos(theta)sin(theta)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x cdot cot(x^2 + 1)

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