Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
em
Passo 1
Temos a função
definida no intervalo
. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio de Lagrange, e vamos precisar verificar as hipóteses de continuidade em
e diferenciabilidade em
, para então aplicar a fórmula
Passo 2
Como
e
são contínuas em
e diferenciáveis em
, sua soma
também satisfaz essas propriedades. Logo, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio no intervalo
.
Passo 3
Calculamos primeiro os valores extremos:
Assim, a taxa média de variação é
Passo 4
Derivamos
:
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Isolando
:
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Resposta
O Teorema do Valor Médio se aplica a
em [1,e], e o ponto garantido pelo teorema é
.