3^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
hd(x)=ln (x)+x
em 1, e

Passo 1

Temos a função hd(x)=ln(x)+x definida no intervalo [1,e]. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio de Lagrange, e vamos precisar verificar as hipóteses de continuidade em [1,e] e diferenciabilidade em (1,e), para então aplicar a fórmula
h'(c)=h(e)-h(1)e-1

Passo 2

Como ln(x) e x são contínuas em [1,e] e diferenciáveis em (1,e), sua soma hd(x)=ln(x)+x também satisfaz essas propriedades. Logo, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio no intervalo [1,e].

Passo 3

Calculamos primeiro os valores extremos:
h(1)=ln(1)+1=0+1=1,
h(e)=ln(e)+e=1+e
Assim, a taxa média de variação é
h(e)-h(1)e-1=(1+e)-1e-1=ee-1

Passo 4

Derivamos hd:
h'(x)=ddxl(ln(x)+xr)=1x+1
Pelo Teorema do Valor Médio, existe cin(1,e) tal que
h'(c)=1c+1=ee-1
Isolando 1/c:
1c=ee-1-1=1e-1,
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c=e-1

Resposta

O Teorema do Valor Médio se aplica a hd em [1,e], e o ponto garantido pelo teorema é c=e-1.

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