Exercício 1. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y :
f(x, y, z)=z-z^2 x^2-x y^2 e^z

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de uma função de três variáveis, que é um problema típico de cálculo de derivadas parciais. A função dada é
f(x, y, z) = z - z^2 x^2 - x y^2 e^z
Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial (manter as outras variáveis constantes) e aplicar as regras de soma, produto e da exponencial.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, diferenciamos cada termo de f em relação a x, tratando y e z como constantes:
  • z é constante em relação a x, logo sua derivada é 0.
  • Para -z^2 x^2, aplicamos a regra de potência: a derivada de x^2 é 2x, ficando
- z^2 cdot 2x = -2 x z^2
  • Para -x y^2 e^z, como y^2 e^z é constante em relação a x, a derivada é
- y^2 e^z
Somando tudo, temos
partial fpartial x = -2 x z^2 - y^2 e^z

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y, diferenciamos cada termo de f em relação a y, mantendo x e z constantes:
  • z e -z^2 x^2 não dependem de y, portanto suas derivadas são 0.
  • Para -x y^2 e^z, tratamos x e^z como constante e derivamos y^2, obtendo
- x e^z cdot 2y = -2 x y e^z
Assim,
partial fpartial y = -2 x y e^z

Resposta

partial fpartial x = -2 x z^2 - y^2 e^z, partial fpartial y = -2 x y e^z

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