Calcule a derivada da função em cada caso:
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Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{\sin x}. Isso cai na categoria de funções em que tanto a base quanto o expoente dependem de x, então a gente vai usar logaritmização para “descer” o expoente e depois aplicar regras de derivação (produto e cadeia).
Passo 2
Definimos y = x^{\sin x} e tomamos ln em ambos os lados para simplificar o expoente:
Passo 3
Agora derivamos cada membro em relação a x. No lado esquerdo, usamos a derivada de \ln y que é y’/y. No lado direito, temos produto de \sin x por \ln x. Usamos a regra do produto em \sin x \cdot \ln x: derivada de \sin x é \cos x e derivada de \ln x é 1/x. Logo:
Passo 4
Portanto a equação da derivada fica
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por y para isolar y’ e lembrando que y = x^{\sin x}, temos: