Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=x^sin (x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{\sin x}. Isso cai na categoria de funções em que tanto a base quanto o expoente dependem de x, então a gente vai usar logaritmização para “descer” o expoente e depois aplicar regras de derivação (produto e cadeia).

Passo 2

Definimos y = x^{\sin x} e tomamos ln em ambos os lados para simplificar o expoente:
ln y = sin x cdot ln x

Passo 3

Agora derivamos cada membro em relação a x. No lado esquerdo, usamos a derivada de \ln y que é y’/y. No lado direito, temos produto de \sin x por \ln x. Usamos a regra do produto em \sin x \cdot \ln x: derivada de \sin x é \cos x e derivada de \ln x é 1/x. Logo:
ddx(sin x ln x)=cos xcdotln x + sin xcdot1x

Passo 4

Portanto a equação da derivada fica
y'y=cos xln x + sin xx

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por y para isolar y’ e lembrando que y = x^{\sin x}, temos:
y'=x^sin xl(cos xln x + sin xxr)

Resposta

f'(x)=x^sin xl(cos xln x+tfracsin xxr)

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