Encontre a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é:
Esse tipo de equação faz parte da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea (sem o lado direito) mais uma solução particular que leva em conta o termo do lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, a gente monta a equação característica, que é uma equação polinomial baseada nos coeficientes da equação diferencial. Aqui, fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com essas raízes, a solução geral da parte homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa. O lado direito da equação é $ t e^{-5 t} $, então vamos supor que a solução particular tem a forma:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $ para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Passo 8
Vamos simplificar e agrupar os termos:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Isso reduz para:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ t $:
Para o termo constante:
Passo 10
Com $ A = \frac{1}{6} $ e $ B = 0 $, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: