Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+5 y^prime+6 y=t e^-5 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é:
y'' + 5 y' + 6 y = t e^-5 t
Esse tipo de equação faz parte da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea (sem o lado direito) mais uma solução particular que leva em conta o termo do lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
y'' + 5 y' + 6 y = 0
Para isso, a gente monta a equação característica, que é uma equação polinomial baseada nos coeficientes da equação diferencial. Aqui, fica:
r^2 + 5 r + 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Podemos fatorar:
r^2 + 5 r + 6 = 0
Então, as raízes são:
(r + 2)(r + 3) = 0

Passo 4

Com essas raízes, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^-2 t + C2 e^-3 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa. O lado direito da equação é $ t e^{-5 t} $, então vamos supor que a solução particular tem a forma:
yp
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de $ y_p $ para substituir na equação original:
Primeira derivada:
yp
Segunda derivada:
yp' = A e^-5 t + (A t + B)(-5) e^-5 t = (A - 5 A t - 5 B) e^-5 t

Passo 7

Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp

Passo 8

Vamos simplificar e agrupar os termos:
[-5 A + 25 A t + 25 B] + 5 [A - 5 A t - 5 B] + 6 [A t + B] = t
Multiplicando os termos:
-5 A + 25 A t + 25 B + 5 A - 25 A t - 25 B + 6 A t + 6 B = t
Simplificando:
(25 A t - 25 A t + 6 A t) + (-5 A + 5 A) + (25 B - 25 B + 6 B) = t
Isso reduz para:
6 A t + 6 B = t

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ t $:
t
Para o termo constante:
6 A = 1 Rightarrow A = 16

Passo 10

Com $ A = \frac{1}{6} $ e $ B = 0 $, a solução particular fica:
A = 16

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-2 t + C2 e^-3 t + 16 t e^-5 t

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