Calcule lim (x, y) (0,0) x y^22 x^2+y^2.

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar testar alguns caminhos e depois usar coordenadas polares para mostrar rigorosamente que o limite existe.

Passo 2

Para ver qual valor o limite pode assumir, vamos avaliar a função ao longo de retas com inclinação m: ao fazer y=mx, temos
x y^22x^2+y^2=x (m x)^22x^2+(m x)^2=m^2 x^3(2+m^2)x^2=m^22+m^2,x
Como x→0, esse quociente tende a 0 para qualquer m.
Concluímos pelas avaliações em várias retas que o limite candidato é 0. Agora vamos usar coordenadas polares (x=r cosθ, y=r sinθ) para uma prova geral:

Passo 3

Na forma polar a expressão fica
x y^22x^2+y^2=(rcosθ)(r^2sin^2θ)2r^2cos^2θ+r^2sin^2θ=rcosθsin^2θ2cos^2θ+sin^2θ
Como 2\cos2θ+\sin2θ ≥ \min(1,2)>0, existe constante C(θ) limitada tal que
|cosθsin^2θ2cos^2θ+sin^2θ|<= M<+∞
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|x y^22x^2+y^2|=r|cosθsin^2θ2cos^2θ+sin^2θ|<= M r
e como r→0, M r→0.

Passo 4

Pela prova em coordenadas polares, mostramos que o limite é 0 independentemente da direção de aproximação.

Resposta

0

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