Calcule
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Passo 1
O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar testar alguns caminhos e depois usar coordenadas polares para mostrar rigorosamente que o limite existe.
Passo 2
Para ver qual valor o limite pode assumir, vamos avaliar a função ao longo de retas com inclinação m: ao fazer y=mx, temos
Como x→0, esse quociente tende a 0 para qualquer m.
Concluímos pelas avaliações em várias retas que o limite candidato é 0. Agora vamos usar coordenadas polares (x=r cosθ, y=r sinθ) para uma prova geral:
Passo 3
Na forma polar a expressão fica
Como 2\cos2θ+\sin2θ ≥ \min(1,2)>0, existe constante C(θ) limitada tal que
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e como r→0, M r→0.
Passo 4
Pela prova em coordenadas polares, mostramos que o limite é 0 independentemente da direção de aproximação.
Resposta
0