Determine a série de Taylor de f em torno de a e o respectivo raio de convergência, para:
f(x)=12-3 x e a=0

Passo 1

A questão pede para achar a série de Taylor de f(x)=12-3x em torno de a=0 e o raio de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a expansão em série geométrica, já que podemos escrever f(x) no formato C/(1 - r x).

Passo 2

Vamos reescrever f(x) de modo a identificar uma série geométrica. Note que
f(x)=12-3x=12cdot11-3x2

Passo 3

Para uma série geométrica temos
11 - u=sumn=0^inftyu^n,quando |u|<1
Aqui podemos tomar u=3x2. Então
f(x)=12sumn=0^inftyl(3x2r)^n=sumn=0^infty12cdot3^n2^nx^n=sumn=0^infty3^n2^n+1,x^n

Passo 4

Para o raio de convergência basta usar a condição |u|<1, ou seja |3x/2|<1, que dá
|x|<23
Portanto, a série de Taylor em torno de zero é
sumn=0^infty3^n2^n+1,x^n,
e o raio de convergência é R=tfrac23.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty3^n2^n+1x^n, com raio de convergência R=tfrac23.

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