Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=raiz[3]x^2

Passo 1

A função dada é f(x)= (x^2)^1/3= x^2/3. O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada em um ponto x: f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h. Também vamos precisar das identidades de diferença de quadrados e de cubos para simplificar o quociente.

Passo 2

Escrevendo o quociente de diferenças temos:
f(x+h)-f(x)h=(x+h)^2/3-x^2/3h

Passo 3

Definimos A=(x+h)^1/3 e B=x^1/3. Então
(x+h)^2/3-x^2/3=A^2-B^2=(A-B)(A+B)

Passo 4

Para achar A-B, usamos a diferença de cubos:
$$A3-B3=(x+h)-x=h= (A-B)(A2+AB+B2)\
\implies A-B=\frac{h}{A2+AB+B2}.$$

Passo 5

Substituindo em (A-B)(A+B) e simplificando no quociente, obtemos
(x+h)^2/3-x^2/3h=h,(A+B)/(A^2+AB+B^2)h=A+BA^2+AB+B^2

Passo 6

Fazendo o limite quando hto0, temos Ato x^1/3 e Bto x^1/3, logo
f'(x)=2x^1/3x^2/3+x^2/3+x^2/3=2x^1/33x^2/3

Resposta

f'(x)=23x^1/3

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