Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando
e
.
Passo 1
A função dada é f(x)=
=
. O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada em um ponto x:
. Também vamos precisar das identidades de diferença de quadrados e de cubos para simplificar o quociente.
Passo 2
Escrevendo o quociente de diferenças temos:
Passo 3
Definimos
e
. Então
Passo 4
Para achar
, usamos a diferença de cubos:
$$A3-B3=(x+h)-x=h= (A-B)(A2+AB+B2)\
\implies A-B=\frac{h}{A2+AB+B2}.$$
Passo 5
Substituindo em
e simplificando no quociente, obtemos
Passo 6
Fazendo o limite quando
, temos
e
, logo