A Lei de Boyle para os gases afirma que P V=c, onde P é a pressão, V o volume e c uma contante do gás. Suponhamos que a pressão dependa do tempo através da expressão P(t)=(20+2 t) g / cm^3 para 0 <= t <= 10. Se o volume em t=0 é 45 cm^3, determine: b) a taxa de variação do volume em função do tempo,

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Boyle, que diz que a pressão vezes o volume é constante: P V = c. Sabemos que P(t) = 20 + 2t (unidades em g/cm^3), que em t=0 o volume é V(0)=45,cm^3, e queremos achar a taxa dV/dt em função de t.

Passo 2

Primeiro, determinamos a constante c usando P(0)V(0)=c: como P(0)=20 e V(0)=45, temos
c = 20cdot 45 = 900

Passo 3

Agora temos a relação
P(t)V(t) = 900

Passo 4

Para achar dV/dt, fazemos diferenciação implícita em relação a t. Como c é constante,
ddtl(P(t)V(t)r)=0Rightarrow P'(t)V(t) + P(t)V'(t)=0 Sabendo que P'(t)=2, isolamos V'(t):
V'(t) = -P'(t)V(t)P(t) = -2,V(t)20 + 2t

Passo 5

Para expressar só em função de t, usamos V(t)=900/(20+2t):
V'(t) = -220 + 2tcdot 90020 + 2t = -1800(20 + 2t)^2

Resposta

dVdt = -1800(20 + 2t)^2

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