Supondo que cada equação abaixo defina uma função implícita tal que y=f(x), determine y^prime. 8 x^2+y^2=10

Passo 1

Temos a curva implícita definida por 8x^2 + y^2 = 10. O conteúdo aqui é diferenciação implícita de uma função y = f(x), e vamos precisar usar a regra da cadeia ao derivar y^2.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. Como o lado direito é uma constante, sua derivada é zero. Assim,
ddx(8x^2) + ddx(y^2) = 0

Passo 3

Calculamos cada derivada:
  • Para 8x^2, usamos a regra do poder:
ddx(8x^2) = 8 cdot 2x = 16x
- Para y^2, tratamos y como função de x e aplicamos a regra da cadeia:
ddx(y^2) = 2y cdot y'

Passo 4

Substituindo na equação diferenciada, fica:
16x + 2y cdot y' = 0

Passo 5

Isolamos y':
2y cdot y' = -16x

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2y:
y' = -16x2y = -8xy

Resposta

y' = -8xy

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