Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=ln x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a derivada de f(x)=ln x usando a definição de derivada e algumas propriedades de log. Vamos precisar de:
• A definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
• A propriedade de logaritmo: ln a - ln b=ln(a/b)
• O limite padrão: limuto0ln(1+u)u=1.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, temos:
f'(x)=limhto0ln(x+h)-ln xh =limhto0lnl(x+hxr)h =limhto0lnl(1+hxr)h
Fazendo a mudança de variável u=hx, quando hto0 também uto0, e como h=xu obtemos:
f'(x)=limuto0ln(1+u)xu = 1xlimuto0ln(1+u)u = 1x times 1

Resposta

f’(x)=1/x

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