Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=1x^2

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a derivada de f(x)= 1/x^2 usando a definição de derivada pelo limite do coeficiente de variação. O conteúdo é derivada pela definição, e vamos precisar da fórmula
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
além de propriedades de limites e técnicas de manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Começamos montando o quociente incremental:
f(x+h)-f(x)h =1(x+h)^2-1x^2h
Aqui a ideia é colocar tudo sobre um único denominador e depois dividir por h.

Passo 3

Para simplificar, primeiro combinamos as duas frações no numerador:
1(x+h)^2-1x^2h =x^2-(x+h)^2h,x^2,(x+h)^2
Em seguida, expandimos (x+h)^2 e obtemos
x^2-(x^2+2xh+h^2)=-2xh-h^2=-h(2x+h)
Cancelando o fator h em cima e embaixo, chega-se a
-2x+hx^2,(x+h)^2

Passo 4

Agora basta aplicar o limite quando h→0. Como h tende a zero, temos 2x+h→2x e (x+h)2→x2, o que leva à forma final da derivada sem mais cancelamentos.

Resposta

-tfrac2x^3

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