Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=b^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=b^x usando a definição de derivada. O conteúdo é derivada via limite, e vamos precisar usar a definição de logaritmo natural para interpretar um limite envolvendo b^h.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h=limhto 0b^x+h-b^xh
Como b^x não depende de h, podemos fatorar:
f'(x)=limhto 0b^xl(b^h-1r)h=b^xlimhto 0b^h-1h

Passo 3

Por definição do logaritmo natural, reconhecemos
limhto 0b^h-1h=ln(b)

Passo 4

Bastará então substituir esse valor na expressão fatorada de f'(x) para obter a derivada definitiva.

Resposta

f’(x)=b^x,\ln(b)

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