Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=1x^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=tfrac1x^n=x^-n usando a definição de derivada. O conteúdo é cálculo de derivada via limite, e vamos precisar usar a definição de derivada e manipulações algébricas (frações e Teorema Binomial).

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Como f(x)=x^-n, o quociente fica
f(x+h)-f(x)h=(x+h)^-n-x^-nh

Passo 3

Para simplificar, colocamos tudo sobre um único denominador:
(x+h)^-n-x^-nh =x^n-(x+h)^nh,x^n,(x+h)^n
Usando o Teorema Binomial,
(x+h)^n = x^n + nx^n-1h + dots + h^n,
o numerador vira
x^n - (x^n + nx^n-1h + dots + h^n) = -n x^n-1h + termos em h^2

Passo 4

Dividindo pelo h e separando os termos, obtemos
-n x^n-1h + termos em h^2h,x^n,(x+h)^n = -n x^n-1 + termos em hx^n,(x+h)^n
Fazendo hto0, todos os termos com h somem e (x+h)^nto x^n. Assim,
f'(x)=-n x^n-1x^n,x^n=-n x^-n-1

Resposta

f'(x)= -n x^-n-1

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