Calcule por meio de diferenciais o volume de borracha usada na confecção de uma bola oca de espessura t, i.e., de raio interno r e raio externo r+d r=r+t.

Passo 1

Vamos calcular o volume de borracha de uma casca esférica fina, ou seja, a variação do volume de uma esfera de raio interno r quando o raio aumenta em dr = t. Vamos usar o conceito de diferenciais aplicados ao volume de uma esfera.

Passo 2

O volume de uma esfera de raio R é dado por
V(R)=43pi R^3
Precisamos da derivada de V em relação a R para aplicar o diferencial.

Passo 3

Calculando a derivada:
dVdR=4pi R^2
Pelo conceito de diferencial, a variação aproximada de volume é
dV=dVdR,dR=4pi R^2,dR

Passo 4

Basta agora substituir R=r e dR=dr=t. Assim obtemos a estimativa do volume de borracha da casca esférica: dV ≈ 4πr²t.

Resposta

4pi r^2 t

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