Supondo que cada equação abaixo defina uma função implícita tal que y=f(x), determine y^prime. 4 x^3-2 y^3=x

Passo 1

Temos a relação implícita 4 x³ – 2 y³ = x. O conteúdo aqui é derivação implícita, e vamos precisar usar a regra da cadeia ao derivar y³, já que y depende de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx(4x^3) - ddx(2y^3) = ddx(x)
Aí temos
12x^2 - 2 cdot 3y^2 cdot y' = 1
ou seja
12x^2 - 6y^2 y' = 1

Passo 3

Agora isolaremos y’. Primeiro, passe o termo 12x² para o outro lado:
-6y^2y' = 1 - 12x^2
E então divida por -6y²:
y' = 1 - 12x^2-6y^2 = 12x^2 - 16y^2

Resposta

y’ = \frac{12x^2 - 1}{6y^2}

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