Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.
(b) f(x)=1raizx ; x=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=1raizx e, em seguida, determinar a reta tangente à curva no ponto x=1. O conteúdo aqui é derivadas de potências e a fórmula da reta tangente y - f(a) = f'(a)(x - a).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função usando expoente: f(x)=x^-tfrac12. Aplicando a regra de potência (se f(x)=x^n, então f'(x)=n,x^n-1), obtemos:
f'(x)=-tfrac12,x^-tfrac32

Passo 3

Agora, avaliamos a derivada e a função no ponto x=1:
f'(1)=-tfrac12e f(1)=1

Passo 4

Usamos a fórmula da reta tangente no ponto (1,f(1))=(1,1):
y-1=f'(1)(x-1)=(-tfrac12)(x-1)
Em seguida, simplificamos:
y-1=-tfrac12x+tfrac12Rightarrow y=-tfrac12x+tfrac32

Resposta

A derivada é f'(x)=-tfrac12,x^3/2 e a reta tangente em x=1 é y=-tfrac12x+tfrac32.

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