Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
(u) f(x)=raiz1-2 x3 x+2

Passo 1

Nessa questão queremos derivar a função
f(x)=raiz1-2x3x+2
O conteúdo aqui é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente (regra do quociente). Vamos usar: derivada de raizu é u'/(2raizu) e derivada de u/v é (u'v-uv')/v^2.

Passo 2

Vamos definir a parte interna como
h(x)=1-2x3x+2
Para derivar h(x) aplicamos a regra do quociente: se h(x)=u(x)/v(x), então
h'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui escolhemos
u(x)=1-2x, v(x)=3x+2

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=-2, v'(x)=3
Substituindo na fórmula do quociente:
h'(x)=-2,(3x+2)-(1-2x)cdot3(3x+2)^2
No numerador:
-6x-4-3+6x=-7,
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h'(x)=-7(3x+2)^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=raizh(x)=h(x)^1/2. A derivada é
f'(x)=h'(x)2raizh(x)
Substituindo h(x) e h'(x):
f'(x)=-7/(3x+2)^22raiz1-2x3x+2 =-72(3x+2)^2raiz1-2x3x+2

Passo 5

Para simplificar, note que
raiz1-2x3x+2=raiz1-2xraiz3x+2
Então o denominador vira
2(3x+2)^2cdotraiz1-2xraiz3x+2 =2(3x+2)^3/2raiz1-2x
Portanto a forma simplificada é
f'(x)=-72(3x+2)^3/2raiz1-2x

Resposta

f’(x)=\displaystyle -\frac{7}{2(3x+2)^{3/2}\sqrt{1-2x}}

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