Use integrais para calcular a área do triângulo de vértices:
(2,0),(0,2),(-1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do triângulo de vértices (2,0), (0,2) e (–1,1) usando integrais. O conteúdo aqui é área entre curvas, que se obtém pela fórmula área=integrala^bl(f(x)-g(x)r),dxá. Precisamos das equações das retas que formam os lados do triângulo e identificar qual delas é limite superior e qual é limite inferior em cada trecho de x.

Passo 2

Para achar as equações das retas: conecte os pares de pontos e use o coeficiente angular m=(y2-y1)/(x2-x1). As três retas são:
reta entre (-1,1) e (2,0): y=-tfrac13x+tfrac23,
reta entre (-1,1) e (0,2): y=x+2,
reta entre (0,2) e (2,0): y=-x+2

Passo 3

Observe que a reta inferior do triângulo em todo o domínio [-1,2] é y=-tfrac13x+tfrac23. A reta superior muda em x=0:
de x=-1 a x=0 a curva superior é y=x+2, e de x=0 a x=2 é y=-x+2. Vamos particionar a área em dois integrais.

Passo 4

No primeiro trecho [-1,0] a área parcial é
A1=integral-1^0l[(x+2)-l(-tfrac13x+tfrac23r)r]dx=integral-1^0tfrac43(x+1),dx,
no segundo trecho [0,2] a área parcial é
A2=integral0^2l[(-x+2)-l(-tfrac13x+tfrac23r)r]dx=integral0^2l(-tfrac23x+tfrac43r)dx

Passo 5

Basta calcular cada integral:
A1=tfrac43integral-1^0(x+1)dx=tfrac43l[tfracx^22+xr]-1^0=tfrac43cdottfrac12=tfrac23,
A2=integral0^2l(-tfrac23x+tfrac43r)dx=l[-tfrac13x^2+tfrac43xr]0^2=tfrac43

Passo 6

Somando as duas partes obtemos a área total: A=A1+A2=tfrac23+tfrac43=2.

Resposta

2

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