sendo a região limitada por .
[Dica: use uma mudança de coordenadas conveniente]
Assinale a alternativa correta.
c.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde é o triângulo limitado por , e . O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos precisar usar a transformação , e calcular o jacobiano.
Passo 2
Fazendo a substituição
temos as inversas
O jacobiano em módulo é
Passo 3
Precisamos descrever a região em (u,v). Os vértices de R são
(0,0) ⟶ (u,v)=(0,0),
(\pi/4,0) ⟶ (u,v)=(pi/4,pi/4),
(\pi/8,\pi/8) ⟶ (u,v)=(0,pi/4).
Isso forma o triângulo: 0<= v<= pi/4 e, para cada v, 0<= u<= v.
Passo 4
A integral transforma-se em
integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA = integralv=0^pi/4 integralu=0^v sin ucos v cdot 12 ,du,dv
Passo 5
Fazendo a integral interna em u:
integral0^v sin u,du = 1 - cos v
Logo o integrando em v fica
12 integral0^pi/4 1-cos vcos v ,dv = 12 integral0^pi/4 (sec v - 1) ,dv
Passo 6
Agora integramos em v:
integral (sec v - 1) ,dv = ln|sec v + tan v| - v
Aplicando limites de 0 a pi/4:
l[ln(sec v + tan v) - vr]0^pi/4 = ln(raiz2+1) - pi4
Passo 7
Multiplicando pelo tfrac12 que ficou fora, obtemos