integral duplaR sin (x-y)cos (x+y) d A
sendo R a região limitada por y=0, y=x, x+y=pi / 4.
[Dica: use uma mudança de coordenadas conveniente]
Assinale a alternativa correta.
c. 14[ln (raiz2+1)-pi4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA, onde R é o triângulo limitado por y=0, y=x e x+y=pi/4. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos precisar usar a transformação u=x-y, v=x+y e calcular o jacobiano.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x - y, v = x + y,
temos as inversas
x = u+v2, y = v-u2
O jacobiano em módulo é
|partial(x,y)partial(u,v)| = 12

Passo 3

Precisamos descrever a região em (u,v). Os vértices de R são
(0,0) ⟶ (u,v)=(0,0),
(\pi/4,0) ⟶ (u,v)=(pi/4,pi/4),
(\pi/8,\pi/8) ⟶ (u,v)=(0,pi/4).
Isso forma o triângulo: 0<= v<= pi/4 e, para cada v, 0<= u<= v.

Passo 4

A integral transforma-se em
integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA = integralv=0^pi/4 integralu=0^v sin ucos v cdot 12 ,du,dv

Passo 5

Fazendo a integral interna em u:
integral0^v sin u,du = 1 - cos v
Logo o integrando em v fica
12 integral0^pi/4 1-cos vcos v ,dv = 12 integral0^pi/4 (sec v - 1) ,dv

Passo 6

Agora integramos em v:
integral (sec v - 1) ,dv = ln|sec v + tan v| - v
Aplicando limites de 0 a pi/4:
l[ln(sec v + tan v) - vr]0^pi/4 = ln(raiz2+1) - pi4

Passo 7

Multiplicando pelo tfrac12 que ficou fora, obtemos
12l(ln(raiz2+1) - pi4r)

Resposta

12l[ln(raiz2+1) - tfracpi4r]

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