Calcule a derivada da função dada.
f(x)=(x-52 x+1)^5

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=gl(x-52x+1gr)^5
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, combinada com a regra do quociente para derivar o termo interno x-52x+1.

Passo 2

Definimos
u(x)=x-52x+1,
de modo que f(x)=[u(x)]^5. Pela regra da cadeia,
f'(x)=5,[u(x)]^4,cdot u'(x)

Passo 3

Para encontrar u'(x) usamos a regra do quociente:
u'(x) =(2x+1)cdotddx(x-5)-(x-5)cdotddx(2x+1)(2x+1)^2 =(2x+1)cdot1-(x-5)cdot2(2x+1)^2
Calculando o numerador:
(2x+1)-2(x-5)=2x+1-2x+10=11,
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u'(x)=11(2x+1)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x)=5,[u(x)]^4,u'(x), temos
f'(x) =5gl(x-52x+1gr)^4cdot11(2x+1)^2 =55;(x-5)^4(2x+1)^6

Resposta

f'(x)=55,(x-5)^4(2x+1)^6

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