Encontre f^prime(x).
3. 4 x^2 sen x-8 x cos x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 4x^2senx ;-; 8xcos x
e pede a derivada f'(x). Vamos usar a regra do produto e as derivadas básicas de senx e cos x.

Passo 2

Para a parcela 4x^2senx, definimos
u(x)=4x^2, v(x)=senx
Então
u'(x)=8x, v'(x)=cos x
Pela regra do produto:
ddxl(4x^2senxr) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 8x,senx + 4x^2cos x

Passo 3

Para a parcela -8xcos x, definimos
u(x)=-8x, v(x)=cos x
Então
u'(x)=-8, v'(x)=-senx
Aplicando a regra do produto:
ddxl(-8xcos xr) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = -8cos x + (-8x)(-,senx) = -8cos x + 8x,senx

Passo 4

Somando as duas derivadas:
f'(x) = l(8x,senx + 4x^2cos xr) + l(-8cos x + 8x,senxr)
Agrupando termos semelhantes:
8x,senx + 8x,senx = 16x,senx,
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f'(x) = 4x^2cos x + 16x,senx - 8cos x

Passo 5

Para deixar mais enxuto, fatoramos 4 e agrupamos cos x:
f'(x) = 4l((x^2-2)cos x + 4x,senxr)

Resposta

f'(x) = 4l((x^2-2)cos x + 4x,senxr)

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