Calcule a derivada da função dada:
h(x)=\int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(x^{2} t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado define
h(x)=\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt
e pede h'(x). O conteúdo é aplicação da regra de Leibniz para diferenciar uma integral cujo integrando depende de x e os limites são constantes.

Passo 2

Como os limites de integração são constantes, podemos trocar a derivada com o sinal de integral (regra de Leibniz):
h'(x) =\frac{d}{dx}\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial do integrando:
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr) =\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}t^{2}) =2x\,t^{2}\,\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr).
Substituindo na integral,
h'(x) =\int_{0}^{1}2x\,t^{2}\,\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt =2x\int_{0}^{1}t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt.

Resposta

h'(x)=2x\int_{0}^{1}t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt.

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