Determine uma função f tal que \nabla f=F e logo, use isto para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} sobre a curva C dada
\vec{F}(x, y)=e^{2 y} \vec{i}+\left(1+2 x e^{2 y}\right) \sqrt{x} \vec{j}, \quad C: \vec{r}(t)=t e^{t} \vec{i}+(1+t) \vec{j}, 0 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Achar uma função escalar f(x,y) tal que
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x,f_y\bigr)=\vec F(x,y)
ou seja
f_x(x,y)=e^{2y},\qquad f_y(x,y)=1+2x\,e^{2y}.
  1. Calcular
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
na curva parametrizada por \displaystyle \vec r(t)=\bigl(t e^t,\;1+t\bigr), 0\le t\le1.
Como \vec F é gradiente de f, a integral será
f\bigl(\vec r(1)\bigr)-f\bigl(\vec r(0)\bigr).

Passo 2

Integramos f_x(x,y)=e^{2y} em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=\int e^{2y}\,dx = x\,e^{2y}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 3

Agora derivamos em y e igualamos a f_y.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[x e^{2y}+h(y)\bigr] =2x\,e^{2y}+h'(y) \stackrel!=1+2x\,e^{2y}.
Isto implica h'(y)=1, logo
h(y)=y+C.
Podemos escolher C=0 (qualquer constante desaparece na diferença de valores de f).

Passo 4

Portanto
f(x,y)=x\,e^{2y}+y.
Os extremos da curva são
\vec r(0)=(0\cdot e^0,\;1+0)=(0,1),\qquad \vec r(1)=(1\cdot e^1,\;1+1)=(e,2).
Assim
\int_C\vec F\cdot d\vec r =f\bigl(e,2\bigr)-f\bigl(0,1\bigr) =\bigl(e\cdot e^{4}+2\bigr)-\bigl(0\cdot e^2+1\bigr) =e^5+2-1 =e^5+1.

Resposta

\displaystyle f(x,y)=x\,e^{2y}+y \displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r=e^5+1

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