Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral
\int_{C} y d x+(x+z) d y+y d z, \quad C é o segmento de reta de (2,1,4) a (8,3,-1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
\omega = y\,dx + (x+z)\,dy + y\,dz
é independente do caminho em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo) e em seguida calcular
\int_{C}\omega
onde C é o segmento de reta de A=(2,1,4) a B=(8,3,-1). Para mostrar independência de caminho, vamos verificar se o campo F=(P,Q,R) com
P=y,\quad Q=x+z,\quad R=y
é conservativo, isto é, se o rotor \nabla\times F é zero.

Passo 2

Calculamos o rotor
\nabla\times F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Agora cada componente:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (y)}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial (x+z)}{\partial z}=1,
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (y)}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (y)}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (x+z)}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (y)}{\partial y}=1.
Logo
\nabla\times F=(1-1,\;0-0,\;1-1)=(0,0,0).
Como o rotor é zero em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo), F é conservativo e a integral é independente do caminho.

Passo 3

Como F é conservativo, existe uma função potencial f(x,y,z) tal que
\nabla f = F,
ou seja
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=y.
Integramos \frac{\partial f}{\partial x}=y em relação a x:
f(x,y,z)=xy + g(y,z),
onde g é “constante” em relação a x.

Passo 4

Para determinar g, usamos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(xy+g(y,z)) = x + \frac{\partial g}{\partial y} \stackrel!= x+z.
Desse modo
\frac{\partial g}{\partial y}=z \quad\Longrightarrow\quad g(y,z)=yz + h(z),
com h “constante” em relação a y. Finalmente, da condição
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(xy+yz+h(z)) = y + h'(z) \stackrel!= y
vem h'(z)=0, logo h(z)=\text{constante}. Podemos então tomar
f(x,y,z)=xy + yz
(ignorando a constante).

Passo 5

A integral de linha depende apenas da diferença
\int_{C}\omega = f(B)-f(A).
Calculamos
f(B)=f(8,3,-1)=8\cdot3 + 3\cdot(-1)=24-3=21,
f(A)=f(2,1,4)=2\cdot1 + 1\cdot4=2+4=6.
Logo
\int_{C}\omega = 21 - 6 = 15.

Resposta

15

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