Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral
C é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
é independente do caminho em
(domínio simplesmente conexo) e em seguida calcular
onde
é o segmento de reta de
a
. Para mostrar independência de caminho, vamos verificar se o campo
com
é conservativo, isto é, se o rotor
é zero.
Passo 2
Calculamos o rotor
Agora cada componente:
Logo
Como o rotor é zero em
(domínio simplesmente conexo),
é conservativo e a integral é independente do caminho.
Passo 3
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
ou seja
Integramos
em relação a
:
onde
é “constante” em relação a
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
Desse modo
com
“constante” em relação a
. Finalmente, da condição
vem
, logo
. Podemos então tomar
(ignorando a constante).
Passo 5
A integral de linha depende apenas da diferença
Calculamos
Logo