(1,5) Calcule a quarta derivada da função f(x)=sen(x^2+1).

Passo 1

O enunciado pede a quarta derivada da função
f(x)=sinl(x^2+1r)
O conteúdo necessário envolve derivadas de ordem superior, usando a regra da cadeia sempre que derivamos sin(u) ou cos(u) e a regra do produto sempre que aparece um produto de funções.

Passo 2

Para obter f'(x) aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=sin(u(x)) então
f'(x)=cosl(u(x)r),u'(x)
Aqui u(x)=x^2+1 e u'(x)=2x. Logo
f'(x)=cosl(x^2+1r)cdot 2x =2xcosl(x^2+1r)

Passo 3

Para f''(x) derivamos
f'(x)=2xcosl(x^2+1r)
usando a regra do produto entre 2x e cos(x^2+1), e a cadeia em cos:
  • ddx(2x)=2.
  • ddxcosl(x^2+1r)=-sinl(x^2+1r)cdot 2x.
    Assim
f''(x) =2cosl(x^2+1r) +2xl(-sinl(x^2+1r)cdot2xr) =2cosl(x^2+1r)-4x^2sinl(x^2+1r)

Passo 4

Para f'''(x) derivamos
f''(x)=2cosl(x^2+1r)-4x^2sinl(x^2+1r)
Isso dá dois termos:
  1. Derivada de 2cos(x^2+1): -2sinl(x^2+1r)cdot2x=-4xsinl(x^2+1r)
  2. Derivada de -4x^2sin(x^2+1) (produto de -4x^2 por sin): -8xsinl(x^2+1r) +(-4x^2)l(cosl(x^2+1r)cdot2xr) =-8xsinl(x^2+1r)-8x^3cosl(x^2+1r)
Somando,
f'''(x)=-4xsinl(x^2+1r)-8xsinl(x^2+1r) -8x^3cosl(x^2+1r) =-12xsinl(x^2+1r)-8x^3cosl(x^2+1r)

Passo 5

Para f''''(x) derivamos
f'''(x)=-12xsinl(x^2+1r)-8x^3cosl(x^2+1r)
Novamente são dois termos:
  1. De -12xsin(x^2+1): -12sinl(x^2+1r) +(-12x)l(cosl(x^2+1r)cdot2xr) =-12sinl(x^2+1r)-24x^2cosl(x^2+1r)
  2. De -8x^3cos(x^2+1): -24x^2cosl(x^2+1r) +(-8x^3)l(-sinl(x^2+1r)cdot2xr) =-24x^2cosl(x^2+1r)+16x^4sinl(x^2+1r)
Somando os dois resultados,
f''''(x) =-12sinl(x^2+1r)-48x^2cosl(x^2+1r) +16x^4sinl(x^2+1r)

Resposta

f^(4)(x) =(16x^4-12),sinl(x^2+1r)-48x^2,cosl(x^2+1r)

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