(1,0) Calcule os pontos críticos e indique se são máximos ou mínimos locais da função f(x)=e^x cdot(x^2-3).

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x)=e^xl(x^2-3r)
e decidir se são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos precisar calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos e a segunda derivada para classificá-los.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto:
f'(x) =ddxl(e^xr),(x^2-3)+e^x,ddxl(x^2-3r) =e^x(x^2-3)+e^xcdot2x =e^xl(x^2+2x-3r)
Os pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0. Como e^x nunca é zero, basta resolver
x^2+2x-3=0
cuja fórmula de Bhaskara dá
x=-2pmraiz4+122=-2pm42Longrightarrow x=1ou x=-3

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada para classificar os pontos:
f''(x) =ddxl[e^x(x^2+2x-3)r] =e^x(x^2+2x-3)+e^x(2x+2) =e^xl(x^2+4x-1r)

Passo 4

Avaliamo-la em cada ponto crítico:
f''(1)=e^1l(1+4-1r)=4e>0Longrightarrowmínimo local em x=1, í
f''(-3)=e^-3l(9-12-1r)=-4e^-3<0Longrightarrowmáximo local em x=-3 á

Resposta

Os pontos críticos são
(-3,;f(-3))=l(-3,6e^-3r)(máximo local), á
(1,;f(1))=l(1,-2er)(mínimo local) í

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