(1,0) Calcule a derivada da função dada implicitamente pela equação y^2+y e^x+1=2 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
y^2 + y,e^x+1 = 2x
e pede para calcular y'=dydx, possivelmente em um ponto específico.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. No lado esquerdo há duas parcelas:
  1. ddx(y^2) = 2y,y' por regra da cadeia.
  2. ddxl(y,e^x+1r) = y',e^x+1 + y,e^x+1 por produto e pela derivada de e^x+1 ser e^x+1.
    O lado direito ddx(2x)=2.

Passo 3

Somando as derivadas do lado esquerdo e igualando a 2, obtemos
2y,y' + l(y',e^x+1 + y,e^x+1r) = 2
Agrupando os termos com y':
y',l(2y + e^x+1r) + y,e^x+1 = 2
Isolando y', fica
y' = 2 - y,e^x+12y + e^x+1

Passo 4

Se tentarmos avaliar essa expressão em (x,y)=(1,0), primeiro verificamos se o ponto pertence à curva original:
y^2 + y,e^x+1l|(1,0) = 0^2 + 0cdot e^2 = 0,
enquanto a direita 2xl|x=1=2. Como 0neq2, o ponto (1,0) não satisfaz a equação implícita e, portanto, não está na curva.

Resposta

A derivada implícita é
y' = 2 - y,e^x+12y + e^x+1
O ponto (1,0) não pertence à curva, então não faz sentido calcular y' ali.

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