(1,0) Calcule os pontos críticos da função e indique se são máximos ou mínimos locais na função f(x)=x^2+x+1x.

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função
f(x)=x^2+x+1x
no domínio Rsetminus0 e que a gente classifique cada ponto como máximo ou mínimo local. Para isso, vamos usar as derivadas primeira (para achar os pontos críticos) e segunda (para classificar).

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) e calculamos f'(x).
Como
f(x)=x^2+x+1x=x + 1 + 1x,
derivando:
f'(x)=ddxl(x + 1 + x^-1r) =1 + 0 - x^-2 =1 - 1x^2

Passo 3

Agora achamos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=0 Longrightarrow 1 - 1x^2=0 Longrightarrow 1x^2=1 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=pm 1
Ambos estão no domínio, então são nossos candidatos a extremos.

Passo 4

Para classificar, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(1 - x^-2r) =0 + 2x^-3 =2x^3

Passo 5

Avaliamos f'' e também f em x=1 e x=-1:
- Em x=1:
f''(1)=21^3=2>0 e f(1)=1^2+1+11=3
Como f''(1)>0, há um mínimo local em l(1,3r).
- Em x=-1:
f''(-1)=2(-1)^3=-2<0 e f(-1)=(-1)^2+(-1)+1-1=-1
Como f''(-1)<0, há um máximo local em l(-1,-1r).

Resposta

O ponto crítico (1,3) é um mínimo local e o ponto crítico (-1,-1) é um máximo local.

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