Calcule a derivada da função dada:
(1,0 ponto) h(x)=\frac{2 x+3}{4 x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(x)=\frac{2x+3}{4x^2+5}.
O conteúdo envolvido é a derivada de função racional, e vamos usar a regra do quociente, que diz que, se
h(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Identificamos as partes:
u(x)=2x+3,\quad u'(x)=2,
v(x)=4x^2+5,\quad v'(x)=8x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
h'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{2\,(4x^2+5)-(2x+3)\,8x}{(4x^2+5)^2}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
2\,(4x^2+5)=8x^2+10,
(2x+3)\,8x=16x^2+24x,
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8x^2+10-(16x^2+24x)=-8x^2-24x+10.
Substituindo:
h'(x)=\frac{-8x^2-24x+10}{(4x^2+5)^2}.

Resposta

h'(x)=\frac{-8x^2-24x+10}{(4x^2+5)^2}.

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