Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
(n)
(n)
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
. Vamos usar conteúdo de derivada de logaritmo natural, propriedade de log de quociente (passar pra diferença), derivada de funções trigonométricas e a regra da cadeia para a raiz quadrada.
Passo 2
Reescrevemos a função usando
:
Passo 3
Derivamos termo a termo aplicando a regra da cadeia e a derivada de
(que é
). Seja
e
.
- Para
: a derivada é . - Para
: a derivada é .
Passo 4
Montando os dois termos antes de simplificar:
Passo 5
Fatorando
e agrupando:
No parênteses o numerador fica:
então
Passo 6
Como o parênteses vale
, concluímos:
Resposta
-\frac{1}{2\sqrt{x}\cos(\sqrt{x})}