Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
(n) f(x)=log cos raizx1+sen raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ⁠ f(x)=logdfraccosraizx1+sinraizx. Vamos usar conteúdo de derivada de logaritmo natural, propriedade de log de quociente (passar pra diferença), derivada de funções trigonométricas e a regra da cadeia para a raiz quadrada.

Passo 2

Reescrevemos a função usando ln(A/B)=ln A-ln B:
f(x)=lnl(cos(raizx)r)-lnl(1+sin(raizx)r)

Passo 3

Derivamos termo a termo aplicando a regra da cadeia e a derivada de ln v (que é v'/v). Seja u=raizx e u'=1/(2raizx).
  • Para ln(cos u): a derivada é dfrac-sin ucdot u'cos u.
  • Para ln(1+sin u): a derivada é dfraccos ucdot u'1+sin u.

Passo 4

Montando os dois termos antes de simplificar:
f'(x)=-sin(raizx)cos(raizx)cdot12raizx-cos(raizx)1+sin(raizx)cdot12raizx

Passo 5

Fatorando 1/(2raizx) e agrupando:
f'(x)=-12raizxgl(sin(raizx)cos(raizx)+cos(raizx)1+sin(raizx)gr)
No parênteses o numerador fica:
sin u(1+sin u)+cos^2u=sin u+sin^2u+cos^2u=1+sin u,
então
sin ucos u+cos u1+sin u=1+sin ucos u(1+sin u)=1cos u=sec u

Passo 6

Como o parênteses vale sec(raizx), concluímos:
f'(x)=-12raizxsec(raizx)=-12raizx,cos(raizx)

Resposta

-\frac{1}{2\sqrt{x}\cos(\sqrt{x})}

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