Encontre um palpite para a solução particular da EDO
4 y^prime prime+y=e^-2 x sin (x2)+6 x cos (x2)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de Equação Diferencial Ordinária (EDO). A gente precisa encontrar um palpite para a solução particular da seguinte EDO:
4 y'' + y = e^-2x sin (x2) + 6x cos (x2)
Isso significa que vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para a solução particular baseada nos termos do lado direito da equação. Vamos precisar levar em conta funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais para montar nosso palpite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo e^-2x sin (x2). Quando vemos uma combinação de exponencial com seno ou cosseno, nosso palpite geralmente envolve a mesma estrutura. Então, vamos supor uma solução particular na forma:
yp1 = e^-2x (A cos x2 + B sin x2),
onde A e B são constantes que vamos determinar. Essa forma cobre tanto a parte exponencial quanto as funções trigonométricas presentes no termo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo termo, que é 6x cos (x2). Aqui temos um polinômio ( 6x) multiplicando um cosseno. Normalmente, para termos assim, o palpite inclui um polinômio da mesma ordem multiplicado por seno e cosseno. Então, nosso palpite será:
yp2 = (C x + D) cos x2 + (E x + F) sin x2,
onde C, D, E e F são constantes a serem determinadas. Essa estrutura permite que capturemos tanto a parte polinomial quanto a trigonométrica do termo.

Passo 4

Antes de juntar tudo, precisamos verificar se as funções que escolhemos para yp1 e yp2 não são soluções da equação homogênea associada. A equação homogênea seria:
4 y'' + y = 0
Resolvendo essa equação, encontramos as soluções que envolvem cos x2 e sin x2. Como essas funções já fazem parte das nossas suposições para yp1 e yp2, precisamos multiplicar por x para garantir que nosso palpite seja independente da solução homogênea. Assim, ajustamos nosso palpite para:
yp1 = x e^-2x (A cos x2 + B sin x2),
yp2 = x[(C x + D) cos x2 + (E x + F) sin x2]

Resposta

Portanto, o palpite para a solução particular da EDO é:
yp = x e^-2x (A cos x2 + B sin x2) + x[(C x + D) cos x2 + (E x + F) sin x2]

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