Seja a equação diferencial
3 y^prime prime-6 y^prime+6 y=x+2+e^x sec x
Discuta como podem ser combinados os métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial dada.

Passo 1

Então, estamos olhando para uma equação diferencial do tipo:
3 y'' - 6 y' + 6 y = x + 2 + e^x sec x
Aqui, vamos usar métodos de coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros para resolver essa equação. Isso significa que vamos combinar duas técnicas diferentes para encontrar uma solução que englobe todos os termos do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
3 y'' - 6 y' + 6 y = 0
Para isso, encontramos a equação característica:
3 r^2 - 6 r + 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes complexas:
r = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 3 cdot 62 cdot 3 = 1 pm i
Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh = e^x (C1 cos x + C2 sin x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte polinomial e exponencial do lado direito: yp^(1) = A x + B .
Usamos o método dos coeficientes a determinar. Assumimos uma solução da forma:
yp^(1)' = A yp^(1)'' = 0
Derivando:
3 cdot 0 - 6 cdot A + 6 (A x + B) = x + 2
Substituindo na equação original:
-6A + 6A x + 6B = x + 2
Simplificando:
6A = 1 Rightarrow A = 16 -6A + 6B = 2 Rightarrow -1 + 6B = 2 Rightarrow B = 12
Igualando os coeficientes:
yp^(1) = 16 x + 12
Então, a solução particular para essa parte é:

Passo 4

Para o termo yh = e^x (C1 cos x + C2 sin x) , o método de coeficientes a determinar não é eficiente, então usamos a variação dos parâmetros.
Sabemos que a solução homogênea é:
yp^(2) = e^x (u(x) cos x + v(x) sin x)
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação original, resolvemos para e . Esse processo envolve calcular determinantes e integrais, resultando em uma solução particular específica para .

Passo 5

Finalmente, combinamos a solução homogênea com as soluções particulares encontradas:
y = yh + yp^(1) + yp^(2) y = e^x (C1 cos x + C2 sin x) + 16 x + 12 + e^x (u(x) cos x + v(x) sin x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^x (C1 cos x + C2 sin x) + 16 x + 12 + e^x (u(x) cos x + v(x) sin x)
Onde e são constantes arbitrárias, e , são funções determinadas pelo método de variação dos parâmetros.

Exercícios relacionados